petit soucis de maths pour une copine

[luc marchauciel]

Je suis globalement d'accord avec tout ce qui a été dit jusqu'ici sur ce fil. :smile:

[pelon]

Oui mais... encore faut-il vérifier que H1 et H2 sont vérifiées :whistling_notes: En fait tout est dans ton "ce qui implique" : non, ça implique pas ça du tout...

Si on pose f(1)=0 alors on a f nulle partout puisque selon H2:
f(x) = f(1.x) = f(1).f(x) = 0.f(x) = 0

D'accord. Cela mérite d'être dit dans la démonstration de la copine de Pangloss.
Si f est nulle en 1, elle est nulle partout ce qui est contraire à l'hypothèse.

pelon

 

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[Matrok]

Au fait, on nous lit 8) partout, j'espère ne pas avoir fait apparaître une erreur par accident):

Bah alors, on fait des maths sur le FALO, maintenant ?
Accroche-toi : Soit f de R dans R, avec f(1)=1, f(u+v)=f(u)+f(v) et f(uv)=f(u)f(v).
Tu sais déjà montrer (facile !) que la restriction de f à Q est l'identité de Q. Tu sais aussi (facile !) que f est une fonction paire.
Soit maintenant x un réel positif. Alors x=racine(y)² ; donc f(x)=f(racine(y)²)=f(racine(y))², et donc f(x) est un carré, donc f(x) est positif : ainsi f est positive sur R+.
Mieux ! si u0, f(v)-f(u)=f(v-u) est donc aussi positif, et donc f est croissante sur R+.
Maintenant supposons que x est un irrationnel positif tel que f(x) n'est pas égal à x. Soit h=|f(x)-x|. Dans l'intervalle ]x-h;x[, soit u un rationnel (positif) ; soit v un rationnel dans ]x;x+h[ (ils existent par densité de Q dans R) ; 0
(Merci monsieur Galois : le groupe des automorphismes de corps de R, c'est à dire le groupe de Galois de R/Q, est restreint à l'identité. Dans C il y en a un autre : la conjugaison.)

Je dois préciser quand même que le dernier paragraphe est bien obscur pour moi :33:

[Matrok]

Tiens, au fait, c'est l'occasion ou jamais de re-sortir cette émission de radio sur les liens particuliers entre mathématiques et trotskysme:
http://www.radio-rouge.org/index.php/2006/...sprit-de-verite

[shadoko]

Je reviens quelques heures après, et le fil s'est bien rallongé.

Je dois préciser quand même que le dernier paragraphe est bien obscur pour moi

Ce que t'a écrit ton frangin est un exercice classique (de classes préparatoires, par exemple). Son dernier paragraphe est ... historique. Galois à inventé (sans le dire comme ça) ce qu'on appelle aujourd'hui le "groupe de Galois d'une extension de corps". Un "corps" est une structure algébrique (formalisée plus tard abstraitement par Dedekind) dans laquelle on peut multiplier les éléments et les additionner (et tout cela commute et se distribue), et il y a un élément neutre pour l'addition (noté 0), un pour la multiplication (noté 1) et des inverses additifs et multiplicatifs pour tous les éléments sauf pour 0. Deux exemples de corps sont Q et R. Et bien sûr, un corps peut-être inclus dans un autre. Dans ce cas, on peut s'intéresser aux fonctions qui ne touchent pas au plus petit (sont l'identité dessus) et préservent 1, la multiplication et l'addition (donc les hypothèses de l'exo et autrement dit les "automorphismes de corps"). Ces fonctions forment un "groupe" (une structure avec une loi, un élément neutre, et des inverses) et le génie de Galois a été de comprendre qu'on pouvait se servir de la structure de ce groupe pour montrer des propriétés d'éventuelles formules donnant les racines d'un polynôme P (les x tels que P(x)=0). Depuis longtemps, les mathématiciens en cherchaient pour les degrés plus grand que 4, et les travaux de Galois ont permis de montrer que de telles formules donnant les racines à partir des coefficients du polynôme avec des radicaux, des multiplications et des additions ne pouvaient pas exister en général pour des polynômes de degré supérieur ou égal à 5. De telles formules existent et sont étudiées au Lycée pour les équations de degré 2 (le fameux "Delta=b^2-4ac" etc.). Les corps qu'il considéraient sont ceux obtenus en prenant les rationnels et en rajoutant les réels qui s'expriment comme des polynômes en les racines du polynôme P. On trouve donc des corps intermédiaires entre Q et R, par exemple le corps Q(racine(2)) où les éléments sont de la forme x + y racine(2) avec x et y rationnels.

[Jacquemart]

Quand Shadoko fâché, lui toujours faire ainsi. :hinhin:

[luc marchauciel]

Depuis longtemps, les mathématiciens en cherchaient pour les degrés plus grand que 4, et les travaux de Galois ont permis de montrer que de telles formules donnant les racines à partir des coefficients du polynôme avec des radicaux, des multiplications et des additions ne pouvaient pas exister en général pour des polynômes de degré supérieur ou égal à 5.

Mouais...
Je le croirai quand je le verrai....
Et réciproquement.

luc marchauciel

 

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[pelon]

Quand Shadoko fâché, lui toujours faire ainsi. :hinhin:

:hinhin:

pelon

 

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[shadoko]

Quand Shadoko fâché, lui toujours faire ainsi. :hinhin:

J'ai pourtant essayé d'être clair... Mais je vois qu'on se moque. M'enfous, je boude. :28: Et pis d'abord, c'est pangloss qu'a commencé.