géométrie (devinette)

[othar]

Dans le célèbre problème de la quadrature du cercle, il est question de constructions géométriques réalisées avec une règle et un compas. (il s'agit, étant donné un cercle déjà construit, de construire une carré qui a la même aire que le cercle).

Au bout de 1200(!) ans de recherches (qui ont contribué parfois à "inventer" de nouvelles notions et de nouvelles méthodes mathématiques), le problème, qui entre-temps a été traduit en un problème de nature algébrique, a connu sa conclusion par la démonstration par Lindemann que le nombre pi n'était solution d'aucune équation algébrique à coefficient rationnels.   

Dans ces problèmes, on ne dispose pas d'équerre et pas non plus d'un rapporteur.
Par exemple, pour tracer une droite perpendiculaire à une autre en un point, il faut utiliser une méthode de construction au compas de médiatrice (qui est un cas particulier de droite perpendiculaire).
Celle que l'on apprend au collège par exemple.
D'une manière générale, les constructions que l'on peut faire sont liés à des théorèmes, classiques ou pas  de la géométrie euclidienne dans le plan.

Il me semble qu'il n'y a aucune restriction concernant la longueur de la règle et l'écartement du compas.
Ils peuvent toujours être aussi grand que l'on veut, c'est-à-dire infini!
On peut donc étant donné 2 points tracer des segments de n'importe quel longueur et des cercles de n'importe quel rayon. 

Je vous pose donc le problème suivant qui est une variante des problèmes classiques de construction à la règle et au compas..:

1) Vous disposez d'une toute petite règle et d'un compas dont l'écartement correspond à la longueur de la règle.

2) On vous donne 2 points A et B tels que la distance entre ces 2 points est très grande devant la longueur de la règle et l'écartement du compas.

Problème:
Comment tracer le segment qui relie ces 2 points?

(on ne pourra le tracer qu'en un certain nombre d'étapes car la règle n'est pas de longueur "infinie")
Bref comment viser correctement vers le point B à partir du point A qui est "très loin" de B?
(pour ensuite reporter la longueur de la règle autant de fois que nécessaire)

Bonnes réflexions...

[Nadia]

Si tu as une contrebasse dans les parages, tu arraches une des cordes, et tu t'en sers pour marquer des repères alignés entre les 2 points, que tu relies ensuite avec la règle. :mellow:

[Aumance]

en mettant côte à côte la règle et le compas ouvert , puis en utilisant l'ombre laissée sur le papier par les 2 instruments ????

[othar]

Si tu as une contrebasse dans les parages, tu arraches une des cordes, et tu t'en sers pour marquer des repères alignés entre les 2 points, que tu relies ensuite avec la règle. :mellow:

:huh:

t'as une contrebasse chez toi?

othar

 

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[othar]

en mettant côte à côte la règle et le compas ouvert , puis en utilisant l'ombre laissée sur le papier par les 2 instruments ????

idée très originale mais tu fais comment pour tracer le segment si la règle est dans tes mains? :D

Admettons que tu utilises seulement l'ombre du compas, et que le compas est fixé "dans le sol", comme ça tu peux te déplacer avec la règle...

Dans ce cas, ton idée est bonne =D> =D>
Mais elle a l'inconvénient d'être une solution "physique" sans être une solution mathématique.


Une solution mathématique suppose par exemple que l'on sait tracer des droites parfaitement perpendiculaires ce qui est impossile dans la réalité.

D'ailleurs, dans la réalité, même les droites ne sont pas droites...
Elles le sont en première approximation.

Les figures géométriques (points, segments, droites, cercles, carrés, etc) sont des concepts pour représenter la réalité mais ne sont pas eux-mêmes réels.

De la même manière, une surface considérée comme lisse en mécanique n'est jamais parfaitement lisse: il y a toujours des irrégularités en surface pour générer des frottements.
(sinon les trains ne pourraient jamais freiner!)

Donc je reformule:
On veut une solution utilisant des méthodes mathématiques!
Le segment de droite obtenu à la fin doit correspondre à une "vraie" droite, ce que l'on ne peut obtenir avec l'ombre d'un compas.

[othar]

bon apparemment, cela n'inspire personne...

et si on simplifiait l'énoncé :w00t: :

désormais, la règle est graduée (disons qu'elle permet de mesurer et tracer n'importe quel segment aussi petit soit-il, pourvu que sa longueur soit inférieure ou égale à 10 cm (pour continuer à mesurer en base 10 :hinhin: ))

de plus les points à relier sont distants de 1km


NB: le fait que la règle soit graduée permet de couper facilement un segment déjà tracé en plusieurs parties égales.

plus généralement, on peut aussi diviser la longueur d'un segment par un nombre donné (même irrationnel voire transcendant), pourvu qu'il soit plus grand que 1.

Avec une règle non graduée, on est obligé de faire une construction auxiliaire basée sur le théorème de Thalès (niveau 4ème-3ème).


Pour encourager les amateurs, je donne une piste possible:
si on pouvait relier les points A et B par une ligne brisée constituer de touts petits segments (de longueurs inférieures ou égal à 10 cm) , on serait pas très loin du but....

[samisch]

Un truc un peu compliqué: on peut chercher par symetrie par rapport au milieu I de [AB] à obtenir des points successifs de plus en plus proches de I jusqu'a ce que la distance entre les 2 points permette avec le compas de trouver I, à ce moment là, le probleme est "divisé par 2" et en itérant la méthode on trouve ainsi une succesion de points entre A et B permettant de les relier.Il s'agit donc de diviser le segment par 2 puis par 4 , par 8 etc...


En pratique: On commence par tracer une ligne droite de A vers B et qui arrive suffisamment proche de B pour etre la tangente en B1 d'un cercle "CB" de centre B et de rayon r qu'on trace , en traçant ensuite la parallele à cette droite passant par B et etant elle meme tangente en A1 à un cercle "CA" de centre A et de meme rayon r qu'on trace .On trace ensuite un cercle de rayon r par exemple et de centre A1, "CA1" , on note A2 son intersection la plus proche de B avec le cercle "CA" , on fait de meme de l'autre coté avec B1 pour trouver B2 et on obtient ainsi 2 points A2 et B2 dont le milieu est I et dont la distance est réduite par rapport à celle de [AB]. En renouvelant le processus on parviens a trouver le milieu de I de AB .Ensuite on s'occupe de AI de BI etc ..

[samisch]

En fait pour les points successifs , plutot que de prendre le point d'intersection de deux cercles il est plus simple de prendre l'intersection d'une tangente à un cercle avec le cercle correspondant de l'autre côté

Déterminer I :

[othar]

En fait pour les points successifs , plutot que de prendre le point d'intersection de deux cercles il est plus simple de prendre l'intersection d'une tangente à un cercle avec le cercle correspondant de l'autre côté

Déterminer I :

=D> =D>

je pense que ton idée est correcte:

effectivement, on peut dans un premier temps approcher le point B d'aussi près que l'on veut par une droite:

il suffit de tracer 2 droites quelconque (D1) et (D2) en partant de A
ensuite à partir de ces 2 droites, on trace une succession de droites tels que les angles entre 2 droites "consécutives" soient les mêmes.

avec le compas on trace un cercle C0 (en gras sur mon dessin) de rayon maximum (10 cm d'après l'énoncé)
si on approche pas B d'assez près, on rentre dans le cercle C0
sinon, on trace une bissectrice de l'angle formé par les droites (D1) et (D2)
on a donc divisé l'angle par 2
on recommence jusqu'à ce qu'on rentre "suffisament" dans le cercle C0

par contre, en suivant tes explications je trouve un dessin différent de celui que tu as donné
je le donne en pièces jointes

[othar]

je trouve que ta démonstration est une belle illustration de la dichotomie! :t3xla:

je donnerais la mienne un peu plus tard (quand j'aurais le temps de l'écrire!), elle reposait sur un pavage de plan par des carrés dont la diagonale mesurait la longueur maximale (10cm)
elle reposait aussi sur la réduction d'une ligne brisée (formée des côtés des précédents carrés) et sur les propriétés du théorème de Thalès (conservation des angles)