petits problèmes de géométrie

[Rojo Amanecer]

:w00t: A moi :

X matheux (sachant que X < ou = à 4) tournent autour du pot de rayon R=3cm pendant un temps égal à cinq minutes. Au bout de T minutes, ils quittent leur orbite pour se mettre à tourner en rond sur un même raisonnement tordu L1. Intrigués par cet étrange manège, Y littéraires (sachant que Y < ou = à 3) tournent en bourrique. Au bout de T = quinze minute, ça tourne au vinaigre et tous entrent dans une spirale de la violence qui les mènera jusqu'au bar d'où ils ressortiront ronds comme des queues de pelle en suivant le même chemin qu'à leur arrivée.

1) Dessiner la scène sans omettre de tracer les trajectoires des protagonistes.

2) Déterminer X et Y.

3) Les matheux et les littéraires sont ils sur la même longueur d'ondes ? Justifier.



:unsure: :wacko: :w00t: :wacko: :247: :wacko: :headonwall: :couteau: :wacko: :23: :wacko: :pendu:

[othar]

t'as oublié de demander l'âge du capitaine?

[woody]

maintenant je vais essayer de prouver que l'on obtient dans le cas général une ellipsoïde (ce que semble indiquer le fait que tu trouves des ellipses en considérant seulement les surfaces des cylindres)

Je ne crois pas que tu partes sur une bonne piste : prend le cas de deux cylindres d'axe sécants perpendiculaires, avec deux rayons identiques.

Ramène toi au plan par projection frontale (on se met face au plan défini par les deux axes perpendiculaires) : l'intersection des deux cylindres devient l'intersection de deux rectangles perpendiculaires (genre croix rouge ambulance). Les rayons sont les mêmes donc l'intersection est un carré. Ce carré, en se replongeant en dimension 3 est necessairement un contour apparent du solide dont tu veux déterminer la nature : on peut faire ce qu'on veut, on ne pourra jamais décrire un carré en faisant un trajet, quel qu'il soit, sur une ellipsoïde !

Par contre, si tu considères les deux ellipses de grands axes perpendiculaires, avec justement ce carré qui joint les sommets de ces ellipses, tu auras une bonne vision du solide cherché par l'intermédiaire de ce squelette... Pas le temps de faire une image 3D pour le moment, mais ça me semble assez clair, mais peut-être me tromp'je !

Pour le logiciel, je n'utilise plus mathematica, même si j'ai passé de très bons moments avec l'instruction "Polyhedron"...
J'utilise Curvus Pro, qui est absolument epoustouflant d'efficacité et de simplicité, mais c'est un logiciel qui n'existe que sur mac. Il sera d'ailleurs complètement incorporé au système 10.4 qui va sortir sous peu sous le nom très sobre de "calculateur graphique".

[othar]

j'ai l'impression que c'est toi qui te trompes...
je pense que l'erreur de ton raisonnemnt est d'oublier que la vue du dessus est une projection qui écrase la perspective.

Par exemple si tu regardes du dessus une pyramide à base carrée, tu verras le carré (la base) et evenuellement le point de fuite de la pyramide..
En considérant les équations cartésiennes de 2 cylindres dont l'un est l'image de l'autre par une rotation d'axe (Ox) et d'angle Pi/2, j'ai obtenu les équations caractérisant 2 cercles dans l'espace.
Cela dit mon idée de sphère (puis d'ellipsoïde pour le cas général) est mauvaise comme tu l'as remarqué.

Justifications à suivre...

[woody]

Non, non, je me suis mal expliqué :
Autre exemple pour ce que tu dis, le contour apparent d'une sphère en perspective cavalière (projection cylindrique) n'est pas un cercle, contrairement à ce qui est dessiné dans tous les manuels de maths du monde...

Mais dans le cas présent la silhouette (la croix) fait partie de l'objet, et ce n'est pas seulement un contour apparent. Cette croix passe par les génératrices du cylindre placées dans le plan défini par les deux axes. Il s'agit d'une coupe.

Il y a bien un carré sur le contour de l'objet final, je persiste !

Par un raisonnement analogue, je suis sûr qu'il y a un rectangle dans le cas où rAffaire à suivre !

[woody]

Attention qu'on ne se trompe pas : il y a un carré sur ce solide signifie qu'une trajectoire carrée est possible sur le solide. Cela ne veut bien sûr pas dire que le solide contient des arêtes !

Sur le solide que je voie, cette trajectoire carrée suit les sommets des ellipses.

[othar]

je viens de trouver ce site qui clot momentanément la discussion:
les courbes bicylindriques

les connaisseurs apprécieront la photo de la tente. :hinhin:

Le fichier joint correspond à ce que j'avais trouvé après avoir rectifié mon erreur initiale (avec l'aide de Woody).

cylindres_intersection.dvi.pdf

[woody]

Bien vu ce lien Othar !

Cette tente est absolument géniale effectivement...
Voilà ce que je voyais : deux tentes base carrée identique collées base contre base, mais sans arête à la jonction (dérivabilité dans tous les sens en tout point du carré, sauf aux 4 sommets).

[woody]

Je viens de lire : excellent ce pdf Othar !

Juste un truc : il s'agit d'une réunion d'ellipse et non pas de cercle. En coupant un cylindre par un plan non perpendiculaire à l'axe, on obtient une ellipse non circulaire.

[woody]

J'y pense : il y a deux cercles mais comme je le disais plus haut ce ne sont pas eux qui forment la "bicylindrique".

Un premier cercle en coupant par le plan xOz, et un deuxième par le plan xOy. Ces deux cercles sont effectivement dans deux plans perpendiculaires : je ne les avaient pas vu du tout !