http://www.forumamislo.net

L'énoncé tel quel est faux, de manière évidente. Par exemple, la fonction nulle partout convient (donc, en particulier, ta récurrence est fausse, tu as oublié de vérifier le cas initial f(1)=1).

Supposons donc qu'on rajoute dans l'énoncé l'hypothèse que f(1) ne vaut pas 0.

Alors, (H2) dit que f(1)=f(1)^2, donc f(1) est solution de x(x-1)=0 et vaut donc 1 puisqu'il ne vaut pas 0. Ensuite, ta récurrence, marche pour la question 1.

Pour montrer la question 2, tu utilises simplement que f(p)=f(p/q)f(q) par H2. Donc p = f(p/q) q et donc f(p/q)=p/q.

a écrit :
Tu as du louper quelque chose dans l'énoncé, et on avait bien démontré f(1) , comme toujours pour une récurrence...

Oui, effectivement, j'ai loupé les mots "non nulle".

Soit dit en passant, c'est trop d'information. L'énoncé optimal est simplement que f(1) est non nul.

(pangloss @ jeudi 4 juin 2009 à 14:28 a écrit : le 2/ c'est tellement simple

:hmpf:

Publié : 04 Juin 2009, 16:44

par Matrok

(pelon @ jeudi 4 juin 2009 à 15:06 a écrit : On peut même imaginer une fonction non nulle dans R+ qui serait nulle dans N. Non ?

Bien sûr qu'on peut, il suffit de la définir, comme ça par exemple:
f : x -> sin(x.Pi)

Pour revenir à l'énoncé de pangloss (une fois qu'on l'a modifié en supposant f(1) non nul) c'est intéressant de voir qu'on se retrouve avec une fonction qui est égale à l'identité sur Q (ensemble des rationnels, c'est à dire des nombres qui peuvent s'écrire comme fraction d'entiers), soit f(x)=x si x est rationnel, mais a priori ce n'est pas démontré sur R. Il me semble qui si on ajoute l'hypothèse que f est continue ça devient trivial, mais est-ce nécessaire ? Est-ce qu'on a besoin d'introduire une hypothèse aussi forte, en fait est-ce qu'on a vraiment besoin d'en introduire une de plus ?

Je me demande par exemple si on ne peut pas étendre ça aux radicaux, par exemple avec racine de 2 il me semble très facile grâce à l'hypothèse H2 de prouver que f(racine(2)) est égal à +racine(2) ou à -racine(2). Si on suppose que la fonction est de R+ dans R+ (et non pas seulement dans R) alors il me semble que ça devrait être facile de prouver que f est égale à l'identité pour tous les nombres qui peuvent s'écrire au moyen de fractions et de radicaux, cet ensemble porte un nom mais je ne me souviens plus. Mais enfin, on n'en est pas encore aux réels... Prouver que f(pi)=pi par exemple, ou f(e)=e, c'est pas évident.

-- edit --
tiens, je cite un message qui a disparu ? :33:

Publié : 04 Juin 2009, 16:48

par pelon

(shadoko @ jeudi 4 juin 2009 à 13:34 a écrit :
a écrit :
Tu as du louper quelque chose dans l'énoncé, et on avait bien démontré f(1) , comme toujours pour une récurrence...

Oui, effectivement, j'ai loupé les mots "non nulle".

Soit dit en passant, c'est trop d'information. L'énoncé optimal est simplement que f(1) est non nul.

Au fait, la fonction pourrait être non nulle sur R+ tout en étant nulle sur N. Pour qu'elle soit non nulle il suffit qu'elle ne le soit pas pour une seule valeur, non ?
Je propose f(n)=0 pour n appartenant à N+ ce qui implique f(x)=C (C constante) pour x non entier. Et on n'a plus f(n)=n avec H1 et H2. Où est mon erreur ?

Publié : 04 Juin 2009, 16:51

par Matrok

Oui mais... encore faut-il vérifier que H1 et H2 sont vérifiées :whistling_notes: En fait tout est dans ton "ce qui implique" : non, ça implique pas ça du tout...

Si on pose f(1)=0 alors on a f nulle partout puisque selon H2:
f(x) = f(1.x) = f(1).f(x) = 0.f(x) = 0

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petit soucis de maths pour une copine