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un sujet que je n'ai jamais compris.
et ce malgre les efforts d'un forumeur en MP. :D

Le cas que tu cites illustre que les mathématiques n'ont pas toujours une représentation simple.
Les découvertes en mathématiques n'ont parfois pas d'application immédiate.
La découverte de ce qu'on appelle les nombres complexes (l'ensemble des nombres dont le carré est négatif) est par exemple resté dans un tiroir un siècle avant sa première application (à l'électricité je crois).
Il ne faut donc pas essayer de trouver une surface au sol qui ait pour valeur un nombre négatif !
Alors après, la capacité que possède chaque individu à se réprésenter (parfois de façon très abstraite) les résultats d'un modèle mathématique est très variable et dépend évidemment de l'apprentissage personnel. Einstein était très fort à ce jeu-là, je crois (ce qui a fait parler d'une certaine forme d'autisme si j'ai bien compris, mais la je m'égare).

(zeanticpe @ dimanche 15 juillet 2007 à 18:01 a écrit :un sujet que je n'ai jamais compris.
et ce malgre les efforts d'un forumeur en MP. :wavey:
alors voilà , en math, i est egale à la racine carrée de -1.

Non. N'en déplaise à :engels: qui fait la même erreur dans l'Anti-Dhüring, "La racine carrée de x", ça n'a de sens que si x est un réel positif (ou nul). Par ailleurs si r est la racine carrée de x, non seulement r² est égal à x mais aussi (-r)². Pour éviter toute ambiguïté on définit la fonction "racine carrée" comme une fonction de R+ dans R+, c'est à dire qui associe à tout réel positif ou nul x un réel positif ou nul racine(x). Comme -1 est négatif, i est en fait défini comme un nombre complexe tel que i²=-1. Je sais, ça ressemble très fort à du pinaillage mais quand on manipule de tels "concepts" abstraits il vaut mieux savoir exactement de quoi on parle... Le fait d'inventer ce nombre i, qui n'appartient pas aux nombres réels, fait qu'on invente du même coup un nouveau corps de nombres, les nombres complexes. Il vaut mieux, pour éviter les non-sens, éviter d'utiliser abusivement un langage dévelloppé pour l'étude des nombres réels, comme "racine carrée"...

a écrit :je comprends tres bien comment un carré mettons de côté 2 a une surface de 4. C est facile on peut dessiner à l'interieur 4 carrés de 1 * 1.

un carre avec un cote de 0 et une surface de 0, bon ca, je ne vois pas mais je veux bien admettre. au moinx pour faire plaisir aux matheux.

mais une surface négative?

Arrives-tu à te représenter une "longueur négative" ? bien sûr pas plus qu'une "surface négative". En fait, une longueur est toujours positive. Ou mathématiquement, c'est un réel positif ou nul. Donc ta question n'a pas lieu d'être ! "Un carré de côté i" n'a pas plus de sens que "un carré de côté -1".

a écrit :bon, allez-y essayez!

et n'hésitez pas à être très vulgaires. :D

J'espère n'avoir pas été trop vulgaire ! Pour comprendre ces notions, en fait, il vaut mieux voir comment les mathématiciens les définissent, en ouvrant un bouquin de maths de niveau bac+1. Ce n'est pas si difficile à lire...

(jeug @ dimanche 15 juillet 2007 à 20:01 a écrit : l'ensemble des nombres dont le carré est négatif

Pas exactement, il s'agit d'une généralisation, les nombres réels (dont le carré est positif ou nul) peuvent dans ce cadre être considérés comme des complexes particuliers, dont la dimension imaginaire est égale à zéro.

a écrit :Einstein était très fort à ce jeu-là, je crois (ce qui a fait parler d'une certaine forme d'autisme si j'ai bien compris, mais la je m'égare)

La légende trouve sa source dans les difficultés réelles qu'à eu Einstein pour l'acquisition du langage dans son enfance. (Message aux parents, pas de panique si le petit dit volontiers : "ils croivent")

a écrit :
La découverte de ce qu'on appelle les nombres complexes (l'ensemble des nombres dont le carré est négatif) est par exemple resté dans un tiroir un siècle avant sa première application (à l'électricité je crois).

C'est toujours difficile de dire qui a "découvert" les nombres complexes. Mais à ma connaissance, les premières utilisations systématiques de racines de nombres négatifs pour résoudre des formules mathématiques date du 16ème siècle, dans les oeuvres de Cardan (Cardano) et Tartaglia dans la résolution des équations polynomiales de degré 3 et 4. Et ce n'est pas vraiment juste de dire qu'ils n'ont pas eu d'application avant l'électricité. Cette utilisation s'est généralisée, notamment dans l'oeuvre d'Euler, au 18ème et c'est là qu'est apparue la notation "i" pour un des (deux) nombres complexes dont le carré est -1. La résolution d'équations était un problème important pour la mécanique des solides, pour les calculs de distances et de formes.

Maintenant, pour en revenir à la question de Zeanticpe, comme dit Jeug, il ne faut pas chercher un truc dont la surface est négative. C'est un peu une fausse question.

Il faut plutôt voir les nombres complexe comme une sorte de nombres plus généraux que les nombres réels, eux-même plus généraux que les nombres entiers, par exemple.

Ces différentes sortes de nombres servent à des tas de choses, et pas seulement aux calculs de surface. Pour représenter une surface, les nombres réels suffisent. Pour faire d'autres chose, ils ne suffisent pas, et on utilise "plus" de nombres, les nombres complexes par exemple.

Pour faire une analogie, on pourrait se poser un peu le même genre de fausse question en disant: je comprends ce que sont les nombres entiers: trois canards, je sais ce que c'est. Mais alors, pour les nombres réels, je ne comprends plus. Qu'est-ce que ça veut dire, 3,33 canards, ou Pi canards. En fait ce n'est pas trop le problème. Les nombres réels ne sont pas utiles pour compter les canards. Les nombres entiers sont très bien pour ça. Par contre, si on veut compter des choses qui se coupe facilement en morceaux de plus en plus petits, on est content avec les nombres réels. On peut parler de 2,5 litres d'eau, par exemple.

C'est un peu pareil avec les nombres complexes. On les utilise pour certaines choses, mais pas spécialement pour représenter des surfaces.

C'est assez vulgaire, ou faut que je jure :hinhin: ?

(jeug @ dimanche 15 juillet 2007 à 19:01 a écrit : La découverte de ce qu'on appelle les nombres complexes (l'ensemble des nombres dont le carré est négatif) est par exemple resté dans un tiroir un siècle avant sa première application (à l'électricité je crois).

Je n'avais pas vu ça. Ouh que c'est faux !

L'ensemble des nombres ayant un carré négatif, ce n'est pas les complexes, mais les imaginaires (ou imaginaires purs).

Les complexes, c'est l'ensemble des nombres qui sont la somme d'un réel et d'un imaginaire.

Le carré d'un complexe, en règle générale, est... un complexe ! Par exemple :
(1 + i)² = 2i

Si on a inventé les complexes (en Italie, à la Renaissance), c'est qu'on en avait besoin pour résoudre certaines équations. La première "application" des complexes date donc de leur invention.

Publié : 15 Juil 2007, 21:55

par jeug

D'abord, vous pinaillez, disons que les imaginaires sont le bras armé des complexes.
Ensuite, je vois bien que c'est pour me faire complexer (le lycée c'est loin pour moi).

Publié : 15 Juil 2007, 22:30

par othar

(jeug @ dimanche 15 juillet 2007 à 20:01 a écrit : Le cas que tu cites illustre que les mathématiques n'ont pas toujours une représentation simple.
Les découvertes en mathématiques n'ont parfois pas d'application immédiate.
La découverte de ce qu'on appelle les nombres complexes (l'ensemble des nombres dont le carré est négatif) est par exemple resté dans un tiroir un siècle avant sa première application (à l'électricité je crois).
d'une certaine forme d'autisme si j'ai bien compris, mais la je m'égare).

au début, les nombres complexes étaient utilisés comme un truc pour résoudre certaines équations polynomiales (a0+a1x+a2x^2+---) de degré 3, ou 4

comme le dit shadoko, la notation "i" n'existait pas encore

on savait pas pourquoi ça marchait, mais ça donnait des résultats et avec l'écriture racine(-3) ou pouvait faire des calculs en respectant des règles proche de celles des nombres habituels

au bout de deux ou trois siècles, la notion d' "extension algébrique" est apparue, dans le cadre de la theorie des nombres (je crois...), ce qui a donné une fondement à racine(-1)

en se restreignant aux maths, outre la factorisation des polynômes, les nombres complexes ont permis entre autres:
de simplifierla formule de Moivre pour sin (na) ou cos (na)
de classifier les courbes engendrées par les polynomes dans les espaces "projectifs"

de mieux comprendre le developpement des fonctions classiques sous forme de séries infinies de monomes
on pourrait aussi parler des fonctions elliptiques, etc, etc

bref, beaucoup d'applications dans divers domaines des maths et par la suite beaucoup d'applications en physique et chimie

Publié : 15 Juil 2007, 22:57

par com_71

(zeanticpe @ dimanche 15 juillet 2007 à 19:01 a écrit : je comprends très bien comment un carré mettons de côté 2 a une surface de 4. C'est facile on peut dessiner à l'interieur 4 carrés de 1 * 1.

un carre avec un cote de 0 et une surface de 0, bon ca, je ne vois pas mais je veux bien admettre. au moinx pour faire plaisir aux matheux.

mais une surface négative?

Le problème c'est qu'on a souvent tendance à simplifier les formulations mathématiques, ce qui est sans conséquence si on manie des objets auxquels on est habitué (par ex. longueurs, surface...) mais est source d'erreurs par exemple dans les généralisations dont il est question.

Bon, allons-y :

2x2=4 ça paraît évident. Et pourtant, ces nombres entiers servent dans la vie courante à compter des objets.
par exemple 2 canards x 2 = 4 canards. Là ça va, le 2x2=4 nous sert bien... et pourtant, on n'a pas fait la même opération.
Dans 2x2=4, les "2" étaient vraiment équivalents, exactement la même chose.
Dans 2 canards x 2 = 4 canards le premier "2" compte des canards, "canard" est l'unité, le 2ème "2" est un nombre "sans unité", on l'utilise pour la multiplication, mais ce n'est certainement pas la même chose que "2 canards".

D'ailleurs si on veut faire 2 canards x 2 canards on va être embêté. Je veux bien croire qu'on va trouver 4, mais 4 quoi ? Des "canards au carré" ? Késako ?
2 x 1 canard x 2 x 1 canard = 2x2 x 1canard x 1canard = 4 canard²
Ce qui ne veut rigoureusement rien dire si on n'a pas défini ce peut signifier multiplier un canard par un canard, et c'est pas simple... :roll:

Bon, 2mn x 2mn = ? .... 4 mn² ? C'est quoi ça ?

Et 2m x 2m = 4m² là pas de problème, dans l'espace ordinaire qui nous entoure on admet naturellement que la multiplication d'une longueur par une longueur donne une surface (s=l²) ; que si on multiplie encore par une longueur on a un volume
(v=l²xl=lxlxl= l au cube). Les matheux peuvent généraliser en sortant du "tangible" en parlant d'un hyper-volume = l au cube x l = l puissance 4. Il "suffit" d'imaginer un cube en 4 dimensions. Et etc. pour 5 6 ....

Tout ça pour dire que si on considère -1 comme le produit de 2 nombres, on n'a pas inventé seulement une nouvelle espèce de nombre, mais en même temps une nlle espèce de multiplication. (i x i = i² = -1).

Et i x i n'est certainement pas une surface négative. i x i = -1 c'est tout, par définition, parce que ça sera utile pour construire des prolongements mathématiques cohérents là-dessus.

Pour trouver une surface avec des opérations sur les nombres complexes, il faut, comme avec les nombres ordinaires, partir de longueurs.

On avait 2m x 2m = 4m²

On aura

(2i)m x (2i)m = 2i x 1m x 2i x 1m = (2i x 2i) x (1m x 1m) = 4i² x 1m² = -4 m²

la multiplication de i par i n'a pas introduit une surface (c'est 1m x 1m qui l'a fait), mais un nombre "sans unité" (-1)

Assez vulgaire ?

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i est la racine carrée de -1