Engels et les mathématiques

[Jacquemart]

Je viens de lire (rapidement) un article dont j'avais entendu parler depuis longtemps, mais que je n'avais jamais eu la curiosité de rechercher. Il s'agit d'un texte de Jean Van Heijenoort (un trotskyste des années trente ayant ensuite tourné le dos à ses idées) qui critique de manière assassine les écrits d'Engels sur les mathématiques.

C'est ici, malheureusement en anglais : http://www.marxists.org/history/etol/write...rks/math.htm#n6

Je fais donc appel aux mathématiciens compétents du forum (et j'en connais au moins un). Que peut-on en penser ? Heijenoort ment-il ? Force-t-il le trait ? Engels était-il aussi ignorant de son sujet qu'il le prétend ? Bref, merci d'éclairer ma lanterne, qui en a bien besoin.

[luc marchauciel]

Moi qui connais très bien la règle de trois (mieux que mon ministre de tutelle, en tous cas), je peux te dire que... ça m'intéresserait aussi que quelqu'un nous explique.

[Matrok]

Sans avoir (re)lu ce texte (il me semble que je l'avais lu jadis), et bien que je n'ai jamais fait que survoler ce texte très ardu qu'est 'Anti-Dühring, je vais répondre sur le fond car c'est un sujet de réflexion récurrent pour moi depuis un certain temps...

Oui, il y a des lacunes dans les connaissances mathématiques d'Engels, et c'est assez gênant quand on lit l'Anti-Dühring en raison du caractère polémique de ce livre. Mais on n'est pas forcé de prendre ce bouquin pour une Bible et de chercher à tout prix à lui donner raison, pas plus que de le rejeter en bloc sous prétexte qu'il y a un truc faux de temps en temps. La première attitude serait celle d'un croyant, la deuxième celle d'un hérétique, ce qui ne vaut guère mieux, et c'est l'attitude de van Heijenoort. L'attitude d'un philosophe serait de remettre ce bouquin dans son contexte, de déterminer ce qu'il y a à en tirer, et de ne pas ignorer ce qui s'est fait depuis.

Je m'étonne surtout qu'il y ait si peu de mathématiciens aujourd'hui qui se disent matérialistes. À la fête de LO cette année, Cédric Villiani avait répondu à une question piège venue du public : "les mathématiques, découverte ou invention ?" Ce qu'il avait répondu c'est que de son point de vue, qui est celui de la grande majorité des mathématiciens, les mathématiques sont affaire de découverte. Il avait raison en tout cas de dire que c'est l'avis de la majorité des mathématiciens : le plus souvent, ils ne sont pas très éloignés de Platon. La mathématique serait un monde pur et sans contradiction, dont l'existence est indéniable car synonyme de cohérence, et que l'on découvre petit à petit...

Il est vrai qu'en pratique, le travail du mathématicien est surtout celui d'un découvreur. Pourtant, on sait depuis le début du vingtième siècle au moins (théorèmes de Gödel) que une fois qu'on a posé des définitions et des axiomes, il y a des énoncés sur les objets ainsi décrits dont on ne peut pas démontrer s'ils sont vrais ou faux, et qu'on peut donc décréter comme vrai ou comme faux, ce qui fera un nouvel axiome, donc une porte ouverte vers un autre pan de la mathématique (ou des mathématiques ?). Ceci montre bien que le monde que l'on découvre est totalement dépendant des axiomes que l'on choisit.

Retournons à Engels : à son époque, la réflexion moderne sur les systèmes d'axiomes n'en est qu'à ses balbutiements. C'est pourquoi les axiomes dont il parle sont ceux du vieil Euclide. Mais il n'en est pas moins pertinent sur le fond. L'un des points clé de son argumentation est de montrer qu'ils ont une origine naturelle, matérielle. Et dans le fond, c'est ça qui chagrine beaucoup de mathématiciens...

[Matrok]

Je suis en train de lire le texte de van Heijenoort. En fait, je pense que je ne l'avais pas lu avant : j'avais sans doute lu un autre texte qui y faisait référence, peut-être dans les mémoires de Laurent Schwartz, Un mathématicien dans le siècle.

Il y a parfois des trucs de mauvaise foi... Je cite un passage, que je vais traduire, puis commenter :

Let us sound out once more Engels' mathematical knowledge. In notes for his Dialektik der Natur, commenting on the change of base in the writing of numbers, he states that

All laws of numbers depend on, and are determined by, the system used [1935, page 671].

This is not true. Passing from one base to another merely changes the symbols representing the number, but by no means its arithmetical properties. For this false statement Engels gives an equally false example:

In every system with an odd base, the difference between even and odd numbers disappears [1935, page 671].

A number remains even or odd independently of the base used. It would not be without interest to show how Engels was led by his 'dialectic' to such a senseless affirmation, but suffice it to note here, in this study of Engels' mathematical knowledge, that all this is quite elementary arithmetic and would not puzzle an average sixteen years old student.

Fouillons encore un peu les connaissances mathématiques d'Engels. Dans ses notes pour sa Dialectique de la Nature, en commentant le changement de base dans l'écriture des nombres, il prétend que :

Toutes les lois sur les nombres dépendent, et sont déterminées par, le système utilisé [1935, page 671].

Ce n'est pas vrai. Passer d'une base à une autre ne change que les symboles représentant les nombres, mais en aucun cas leurs propriétés arithmétiques. Pour cette proposition fausse, Engels donne un exemple tout aussi faux :

Dans tout système avec une base impaire, la différence entre nombres pairs et impairs disparaît [1935, page 671].

Un nombre demeure pair ou impair indépendamment de la base utilisée. Cela ne serait pas sans intérêt de montrer comment Engels a été conduit par sa 'dialectique' à une telle affirmation dépourvue de sens, mais il suffit de noter ici, dans cette étude des connaissances mathématiques d'Engels, qu'il s'agit là d'arithmétique élémentaire qui ne poserait aucun problème à un étudiant de seize ans.

Engels dit quelque chose de probablement faux, certes : toutes les lois sur les nombres ne dépendent probablement pas de la base dans laquelle ils sont écrits. Pourquoi je dis que van Heijenoort est de mauvaise foi ? Parce qu'il n'a pas fait l'effort de comprendre ce que Engels veut dire, et lui fait dire quelque chose de plus faux que ce qu'il a écrit. Engels n'écrit pas que la parité d'un nombre (à savoir, est-ce que ce nombre est divisible par deux) dépend de la base utilisée, il écrit que la différence entre un nombre pair et un nombre impair disparaît lorsqu'on prend une base impaire. La phrase est ambigüe et manque de rigueur mathématique car il n'est pas dit de quelle différence on parle, mais il n'est pas très difficile de comprendre ce qu'elle veut dire. Il me semble clair qu'Engels fait référence ici à une différence que tout le monde connait : en base dix, la base usuelle, le dernier chiffre de l'écriture d'un nombre pair est un chiffre pair. Ce n'est plus vrai dans une base impaire. Par exemple en base neuf. La preuve : je vais écrire ci-dessous les quinze premiers entiers naturels en partant de zéro, à droite en base dix, à gauche en base neuf.

0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 10
10 11
11 12
12 13
13 14
14 15

Comme on le voit, en base dix les nombre de rang pair se terminent tous par un chiffre pair. En base neuf, ce n'est pas le cas : quatorze, qui est un nombre pair (divisible par deux), s'écrit "15", son écriture se termine donc par 5, un chiffre impair.

[Jacquemart]

Merci beaucoup Matrok, c'est très exactement ce genre de commentaires que j'espérais. Si tu as le temps et que tu as d'autres choses, notamment sur le calcul différenciel comme irruption de la dialectique dans les maths, je suis preneur.

Sur les maths, "invention ou découverte", j'imagine que c'est un sujet qui est une bouteille à l'encre depuis toujours, non ? Il y a du nouveau ? Des textes relativement abordables par un non spécialiste ?

[shadoko]

J'ai également lu ce texte de Van Heijenoort il y a longtemps, et je viens de le parcourir à nouveau très brièvement.

Heijenoort ment-il ? Force-t-il le trait ? Engels était-il aussi ignorant de son sujet qu'il le prétend ?

A mon avis, la plupart des critiques de Van Heijenoort sur les connaissances et les opinions sur les mathématiques d'Engels sont fondées. Savoir s'il force le trait, c'est difficile, parce qu'il faudrait aller retrouver dans tout Engels les allusions aux mathématiques, et voir s'il n'y a pas autre chose qui serait plus significatif que ce que cite Van Heijenoort. Toutefois, dans tous ce que j'ai lu d'Engels, je n'y ai pas vu autre chose (sur les mathématiques, bien entendu), alors ça me paraît peu probable.

Pour répondre un tout petit peu à Matrok sans partir dans des polémiques infinies, ce que critique Van Heijenoort sur la question de "l'origine matérielle des mathématiques", ce n'est pas le fait que les mathématiques ont une origine matérielle ou naturelle, c'est la conception totalement lunaire d'Engels sur le sens à donner à cette phrase. Le problème de cette phrase est qu'elle veut dire soit une chose totalement évidente et peu contestée, comme
"les mathématiques sont le produit du cerveau humain qui est lui-même un être naturel en interaction avec la nature"
soit une sorte d'affirmation un peu mécanique comme
"les mathématiques sont une copie directe de la nature et toutes les parties des mathématiques qui ne décrivent pas directement ou ne s'identifient pas directement à un phénomène naturel sont à jeter à la poubelle"
Or la première phrase est une évidence sans aucune utilité, et la seconde est une imbécilité totale, au vu de l'histoire de l'interaction des mathématiques avec l'ensemble des sciences (et même au 19ème ou avant). Malheureusement, Engels tombe bien souvent dans ce dernier type de caricature, en étayant ses explications d'exemples qui montrent qu'il ne comprend rien à ce qu'il raconte, et même qu'il n'est absolument pas au courant du développement des mathématiques de son époque, ni même de la manière dont les mathématiques se développent. C'est cela que montre Van Heijenoort, et malheureusement, il le montre bien.

Bon, enfin, bref, ma position, c'est qu'il y a des tas de choses intéressantes chez Engels, mais pas ses opinions sur les mathématiques, desquelles il n'y a rien à sauver. Sur ce, un petit conseil: si vous avez un ami mathématicien et que vous voulez lui présenter les idées marxistes, surtout, ne lui filez pas les passages d'Engels sur les mathématiques, parce que ça le dégouttera d'aller lire autre chose.

[shadoko]

C'est un point de détail, mais pour l'exemple des nombres pairs ou impairs que tu cites, Matrok, je penche malheureusement pour l'interprétation de Van Heijenoort. Mais de toutes manières, si ce que veut dire Engels est bien ce que tu décris, c'est justement totalement superficiel. Ça montre qu'il choisit une propriété de l'écriture des nombres dans une base impaire comme exemple pour illustrer à tort un phénomène plus large qu'il n'a pas saisi (et qui est pourtant très très élémentaire pour quelqu'un qui s'intéresse un tout petit peu aux mathématiques). Et s'il ne parle même pas de ce phénomène (celui que cite Van Heijenoort, que les propriétés arithmétiques des nombres ne dépendent justement pas de leur écriture), c'est précisément qu'il a une vision extrêmement indigente de l'arithmétique, et qu'il ferait mieux de se garder de phrases comme "Toutes les propriétés des nombres etc."

[Matrok]

Merci beaucoup Matrok, c'est très exactement ce genre de commentaires que j'espérais. Si tu as le temps et que tu as d'autres choses, notamment sur le calcul différenciel comme irruption de la dialectique dans les maths, je suis preneur.

Il faudrait déjà que je sois sûr de bien comprendre ce qu'est la dialectique, malheureusement je suis trop paresseux pour me taper tout Hegel. :dead:
Quant au calcul différentiel, ces notions là ont évolué depuis les références qui ont servies à Engels, et qui étaient déjà dépassées de leur temps, comme le rappelle à juste titre van Heijenoort. Moi, je n'ai jamais réussi à vraiment piger la définition que les mathématiciens donnent de différentielle de x dx, et quand par miracle je pige pendant un moment, je ne réussis pas à voir le rapport que ça peut avoir avec l'usage qu'on en fait en physique. Bref, là je me débrouille en pigeant à moitié.

Sur les maths, "invention ou découverte", j'imagine que c'est un sujet qui est une bouteille à l'encre depuis toujours, non ? Il y a du nouveau ? Des textes relativement abordables par un non spécialiste ?

Pas à ma connaissance. Sur un sujet voisin et comme introduction, je conseillerais quand même une BD : Logicomix, de deux auteurs grecs dont j'ai oublié le nom. C'est une biographie romancée de Bertrand Russel, qui permet de se plonger dans le débat mathématico-logico-philosophique du début du vingtième siècle sur les fondements de la logique et donc, des mathématiques... Si on n'y connaît pas grand chose, ça donne des pistes.

Sinon, moins fun, un classique qui m'a bien aidé à aborder bien des problèmes d'épistémologie, c'est La structure des révolutions scientifiques de Thomas S. Kuhn. Il ne donne pourtant quasiment aucun exemple en mathématiques, mais surtout en physique, chimie, biologie... Pourtant, il me semble qu'on peut faire un parallèle entre la distinction qu'il fait entre révolution scientifique et développement de la science normale, et la distinction qu'on pourrait faire entre invention et découverte en mathématiques... Mais bon, c'est une idée à moi, un peu brouillonne et que je n'ai pas creusée.

[Matrok]

Pour répondre un tout petit peu à Matrok sans partir dans des polémiques infinies, ce que critique Van Heijenoort sur la question de "l'origine matérielle des mathématiques", ce n'est pas le fait que les mathématiques ont une origine matérielle ou naturelle, c'est la conception totalement lunaire d'Engels sur le sens à donner à cette phrase. Le problème de cette phrase est qu'elle veut dire soit une chose totalement évidente et peu contestée, comme
"les mathématiques sont le produit du cerveau humain qui est lui-même un être naturel en interaction avec la nature"
soit une sorte d'affirmation un peu mécanique comme
"les mathématiques sont une copie directe de la nature et toutes les parties des mathématiques qui ne décrivent pas directement ou ne s'identifient pas directement à un phénomène naturel sont à jeter à la poubelle"
Or la première phrase est une évidence sans aucune utilité, et la seconde est une imbécilité totale, au vu de l'histoire de l'interaction des mathématiques avec l'ensemble des sciences (et même au 19ème ou avant). Malheureusement, Engels tombe bien souvent dans ce dernier type de caricature, en étayant ses explications d'exemples qui montrent qu'il ne comprend rien à ce qu'il raconte, et même qu'il n'est absolument pas au courant du développement des mathématiques de son époque, ni même de la manière dont les mathématiques se développent. C'est cela que montre Van Heijenoort, et malheureusement, il le montre bien.

En fait, je ne suis pas si sûr que la phrase "les mathématiques sont le produit du cerveau humain qui est lui-même un être naturel en interaction avec la nature", est une "évidence sans aucune utilité". En tout cas, ce n'est sans doute pas une évidence pour de nombreux mathématiciens. Pire : il y en a apparemment beaucoup qui refusent de l'admettre. J'ai par exemple en mémoire une interview de Jean-Pierre Serre dans Libération qui disait carrément que la mathématique est un monde extérieur que l'on découvre par l'esprit ; tout ça en se revendiquant carrément de Platon... Et ce n'est qu'un exemple parmi beaucoup d'autres.

Quant à la deuxième phrase, oui, c'est une bêtise. Sans doute due aux limites des connaissances d'Engels... Je ne connais pas beaucoup de marxistes pour affirmer ça aujourd'hui. Engels est passé à côté de la géométrie non-Euclidienne, parce qu'il n'en a eu connaissance qu'à travers un charlot qui l'utilisait pour justifier ses "expériences spirites". S'il avait vu fonctionner un GPS, qui fait appel pour ses calculs à la relativité générale et donc à une géométrie non-Euclidienne, il aurait sans doute révisé son opinion sur ce point.

[shadoko]

Je ne connais pas cette interview de Serre, si tu peux me la retrouver, ça m'intéresse. Mais il faut tout de même faire certaines distinctions: les mathématiciens sont souvent des gens pragmatiques, qui décrivent souvent la manière pratique dont un mathématicien individuel fait progresser la théorie. Or, de ce point de vue subjectif, en quelque sorte, les choses se passent comme si les mathématiques étaient un monde qu'on extérieur qu'on découvre par l'esprit. Souvent (encore une fois, je ne connais pas cette interview de Serre en particulier), c'est ce qui est exprimé par une sorte de vision platoniste des mathématiques. Mais si tu poses la question directement, la proportion de mathématiciens qui se réclament de ce genre de thèse au sens naïf (sans que ce soit une sorte de métaphore) n'est probablement pas aussi élevée que ce que tu crois.

Engels est passé à côté de la géométrie non-Euclidienne, parce qu'il n'en a eu connaissance qu'à travers un charlot qui l'utilisait pour justifier ses "expériences spirites". S'il avait vu fonctionner un GPS, qui fait appel pour ses calculs à la relativité générale et donc à une géométrie non-Euclidienne, il aurait sans doute révisé son opinion sur ce point.

Malheureusement, les géométries non euclidiennes ne sont que le tout petit bout de l'iceberg qu'a raté Engels dans les mathématiques du 19ème. Et justement, une partie du problème, c'est que ce n'est pas parce que la géométrie de l'espace temps d'Einstein se trouve être non euclidienne qu'il faut "réhabiliter" les géométries non euclidiennes. C'est parce qu'elles font partie d'une énorme somme de connaissances d'un domaine mathématique qui a eu des influences décisives au sein même des mathématiques de l'époque, et bien au-delà d'applications physiques comme le GPS. Les maths ne se développent plus uniquement (et même pas en majorité) en fonction d'applications en physique depuis bien longtemps et cette vision même des mathématiques est complètement mécanique et à côté de la plaque.